Геометрия номер 197

197. Дан прямоугольный треугольник ABC, ∠ C = 90°, CK — высота треугольника ABC,
CM — биссектриса треугольник ACK. Докажите, что треугольник BMC — равнобедренный.
Дано:
прямоугольный треугольник ABC
 ∠ C = 90°
 CK — высота треугольника ABC
CM — биссектриса треугольника ACK
∠АСМ =∠ МСК
СК перпендикулярна  АВ
Докажите, что треугольник BMC — равнобедренный

∠АСК =∠ АВС как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, значит ∠MCK = ∠ACM = 1/2 ∠KBC
В треугольниках СВК  и КСВ И КВС∠СВК + ∠КСВ = 90*, то есть 
2∠МСК + ∠КСВ = 90*, ∠МСК + ∠СМК = 90*. откуда 2∠МСК + ∠КСВ = ∠МСК + ∠СМК , ∠МСК + ∠КСВ = ∠СМК , т. е.
∠МСВ = ∠МСК + ∠КСВ = ∠СМВ = ∠СМК, следовательно треугольник ВМС - равнобедренный, что и требовалось доказать


Сумма угловы любого треугольника равна 180*
 ∠ C = 90°, СК перпендикулярна  АВ, ∠АКС =∠ СКВ = 90* как углы с перпендикулярными сторонами
отсюда находим ∠КСВ и ∠КВС: ( 180* - 90) : 2 = 45*, то есть ∠КСВ = ∠КВС = 45*
но ∠MCK = ∠ACM = 1/2 ∠KBC. следовательно, находим ∠MCK : ∠MCK = 1 /2 ∠KBC = 45* : 2 = 22,5*
∠MCK + ∠КСВ = 22,5* + 45* = 67,5*, то есть ∠МСВ=∠MCK + ∠КСВ = 22,5* + 45* = 67,5*
Имеем: ∠МСВ=67,5*, ∠КСВ = ∠КВС = 45*.находим ∠СМВ: 180 - 45 - 67,5 = 67,5*, ∠СМВ = 67,5*
то есть ∠СМВ = ∠МСВ = 67,5*, ∠КВС = 45*, значит треугольник ВМС - ранобедренный, с основанием МС
Теорема. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны.
Теорема (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.